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半年备考公务员:数列三条黄金法则

  作为公务员考试行政职业能力测验中阅读量最小的一类题型,数列推理经常让很多考生觉得无从下手,因为每一道题的信息量都非常少。尽管在公务员考试中可能出现的数列类型相对固定,只要按部就班的对各类数列的可能的性质进行推算,绝大多数的题目都可以得到正确的答案,但这往往耗时较长或者需要考生具备比较扎实的数学基本功。在考场上,平均每道题的解题时间只有不到一分钟,而若每一道题都按部就班的计算,时间是不容许的。那么,有没有可能在有限的考试时间内迅速准确的锁定正确答案,既省时又省力呢?

  答案是:有的。

  请先看以下两道例题:

  2007年国家公务员考试41题

  2,12,36,80,(    )

  A.100               B.125               C.150               D.175

  本题的正确答案是C,因为前后项两两做差后得到的二级数列是10,24,44,70;再次做差得到的三级数列是14,20,26的等差数列,即原数列是三级等差数列。这当然是最基础的解法,计算起来也不会出现错误,但耗时较长。而且由于题干中给出的已知项只有四项,因此需要将选项依次代入才能得到正确答案。计算能力不是太强或者不太熟练的考生,可能需要花费一分钟以上的时间才能把本题解出。实际上,这道题在考场上完全可以用三秒钟的时间解决,请看:

  首先,该数列所有给出的已知项都是偶数,因此空缺的一项也应是一个偶数,可以排除B、D选项;其次,该数列的已知项在依次增大并且越增越快,可以排除A选项,正确答案只能是C,和按部就班计算得到的结果完全一致。

  事实上,我们在排除选项的时候只应用到了数列的两个基本性质。第一,奇偶性。具备奇偶性质的数列无外乎只有三种情况,全是奇数、全是偶数、奇偶交错。当给出的已知项符合其中任一种规律的时候,未知项应该也符合该变化规律。第二,增减性。单调变化的数列,其增减性可能有四种情况:单调递增且越增越快、单调递增且越增越慢、单调递减且越减越慢、单调递减且越减越快。如果用比较直观的图形来表示的话,增减性的变化,就是如下所示的几种情形:

  如果给出的一个数列所给的已知项符合这四种变化规律之一的话,那么单调性往往可以用来排除错误选项或者锁定正确答案。

  2001年国家公务员考试43题

  6,18,(    )78,126

  A.40                B.42                C.44                D.46

  本题的正确答案是B,因为将各选项分别代入后对前后项依次做差,只有B选项能够得到一个二级等差数列12,24,36,48。但如果通过观察我们可以发现,所给的已知项全部都可以被6整除,那么所求的项应该也能被6整除,符合条件的只有B选项,与运算得到的结果完全相符合。这里我们使用了数列的第三个基本性质,整除性。通常来说,如果一个数列中的已知项都能被某个数整除,那么所求的未知项应该具有同样的整除性质。特别是能被6整除的性质,在公务员考试中曾经多次考查,比如2001年国家公务员考试第42题:

  6,24,60,132,(    )

  A.140               B.210               C.212               D.276

  本题应用整除性虽然不能直接得到正确答案,因为B项210和D项276都能够被6整除,但至少起到了简化题目的作用,将答案由四选一变成了二选一,而在B、D的取舍中,只需要简单将任意一个选项代入就可以了。

  奇偶性、增减性、整除性这三大基本性质,可以说是数列推理中屡试不爽的三道“黄金法则”。如能运用得法,在考场上绝对可以获益良多。虽然这三大性质不一定在任何一个数列中都能够完全得到体现,但在这么多年的公务员考试中,仅仅应用这三大性质就可以解决的数列推理题目数不胜数,甚至不乏用正常途径难以解决的一些偏题、怪题。

  在2005年的国家公务员考试中,曾经出现过一道“没人性”的数列推理,是当年国家二卷的29题,题目如下:

  1,0,-1,-2,(    )

  A.-8                B.-9                 C.-4                D.3

  如果本题抛开选项,只看题干的话,相信99.99%的人第一反应下一项应该是-3,或者可以负责任的说,这就应该是思维正常人的第一反应。但四个备选答案看来看去,就是不见-3的影子。用小沈阳的话来说就是,-3 “可以有”,但这个“真没有”。以至于当年在考场上,很多考生都在怀疑是否印刷出了问题,将D项少印了一个负号。事实上本题并没有出现任何的印刷错误,而正确答案应该是B项-9,运算规律如下:

  0=13-1;-1=03-1;-2=-13-1

  因此所求项应该是-23-1=-9。也就是说,这道题并不像表面上第一眼看去那样是一个递减的等差数列,其骨子里是一个单项之间的递推数列,出题人能够在1,0,-1,-2这四个数之间想到这样一种规律,不得不说已经超出了“人类”的思考范畴。对于这道题,专家有两句话的评价:第一,如果任何一个考生在考场上做这道题的时候,第一反应空缺项应该是-3,那这个考生的智商没有任何问题,完全是正常人。第二,如果有一个考生在考场上能够第一反应正确答案是-9,这名考生已经非常接近出题人的“超人”水平了,把这种人录取为国家机关公务员很可怕。也就是说,这道题已经不仅仅是用“变态”两个字足以形容的题目了,真正能在考场上发现其运算规律的考生寥寥无几。但是,即便不能发现正确的规律,要得到这道题的正确答案却并不困难,请看:

  题目中所给的已知项呈奇偶数交错排列,奇数、偶数、奇数、偶数,因此空缺项应该是一个奇数,排除A、C;又因为已知项在依次递减,排除D,正确答案只可能是-9,至于为什么是-9,到底是怎么算出来的,我们毫不关心。也就是说,尽管有些题目在命题人的本意那里是比较古怪甚至很难的运算关系,但由于所有的题目都是以选择题的方式出现,那么未必需要完美的推出正确的运算关系才能够解题。也正是因为行政职业能力测试全部都是客观题的这一特点,我们才有了多种多样的技巧化繁为简,巧解巧算。

  在这里要提醒各位考生的是,应用奇偶性、增减性、整除性这三大性质,虽然可以将题目难度大大降低,准确度也很高,但也并非绝对不会出任何差错。目前在国家公务员考试中,这三大性质还从未有过“失手”,没有数列推理的题目与之相抵触,但在地方考试中,曾经出现过极个别不符合的特例。比如2008年湖北省公务员考试B卷34题:

  8,12,(    ),34,50,68

  A.16                B.20                C.21                D.28

  本题便不符合奇偶性的规律,正确答案是唯一的奇数21,其运算规律是三级等差数列,二级数列为4,9,13,16,18,三级数列为5,4,3,2。

  再比如2006年6月广东省公务员考试数字推理第3题:

  1269,999,900,330,(    )

  A.190               B.270               C.299               D.1900

  这道题既不符合增减性也不符合整除性,尽管只有B选项能被3整除,具备整除性的特征,但正确答案却是D,运算规律为

  1269=999+900×(3/10);999=900+330×(3/10);900=330+1900×(3/10)

  有的考生可能会产生小小的疑问,既然已经出现了特例,这三大性质在考场上还能不能用来解题呢?当然可以,而且要放心大胆的应用。专家在对多个省份多个年度的大量试题进行总结后发现,虽然在地方公务员考试中曾经出现过不符合三大性质的数列推理题目,但这类题目寥寥无几,占不到总数的1%,尤其是不符合整除性的特例,迄今为止仅在广东省公务员考试中出现过一次,是唯一的例外。而且根据近年来公务员考试试题的命制趋势来看,这种题目重复考查的可能性极小,几乎不会再以后的考试中再出现,而符合奇偶性、增减性、整除性的题目永远是数列推理的常规形态,是命题的重心所在。因此对于这三大性质,不仅要懂,还要会用,更要敢于去用,当考生能将这三大性质应用得心应手的时候,就可以算是接近数量关系“不用算”的最高境界了。

  

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